Chronique historique : Le paradoxe du batracien

le 13 septembre 2019 à 13:53
Pierre Lavallée

Imaginez qu’un récipient plein d’eau, contenant un batracien à l’état de têtard, soit filmé sans interruption pendant trois semaines par une caméra fonctionnant à 24 images/seconde. Au bout de trois semaines, nous aurons à peu près 43 500 000 images. Si nous les numérotons, il est évident que la première représentera un têtard et la quarante-trois millions cinq cent millièmes, une grenouille.

Il ressort de cet exemple que, logiquement, dans la série, il doit y avoir l’image d’un têtard suivie immédiatement de celle d’une grenouille. La validité de ce raisonnement résulte de l’application du « principe du plus petit nombre », théorème de la logique mathématique qui établit que, dans une série donnée de nombres entiers (de 1 à n), si 1 possède un prédicat – une caractéristique qui le définit – , que ne possède pas n, alors il existe nécessairement un « nombre plus petit », parmi ceux qui forment la série, qui n’a pas le prédicat en question. Dans notre exemple, nous avons ainsi l’image d’un têtard suivie, un vingt-quatrième de seconde plus tard, de celle d’une grenouille. Cela semble aller contre l’intuition commune, car comment identifier l’image en question ?

Bien qu’il ait été posé sous cette forme pour la première fois par James Cargile, professeur de philosophie à l’université de Virginie, le paradoxe du batracien est, en fait, une variante de l’un des plus vieux paradoxes de la civilisation occidentale. Dans sa première formulation, l’argument exposait l’impossibilité qu’il y a à constituer un tas de grains en ajoutant seulement un grain à chaque fois. C’est de cette démonstration – qu’on peut faire remonter aux philosophes grecs de l’École de Mégare, au IVe siècle avant Jésus-Christ – que les paradoxes dits « sorites » tirent leur nom, « soreitès » signifiant « tas » en grec ancien. D’autres variantes montrent de la même façon qu’il ne peut exister d’homme riche ou chauve. Dans chaque version du paradoxe, le nerf du raisonnement est qu’il ne puisse y avoir de frontière précise permettant de décider si quelque chose est un têtard ou une grenouille, un tas ou pas un tas, etc.

james_cargile_08_da-2

Avant de revenir à celui de Cargile, examinons l’un des sorites les plus classiques, celui de l’homme riche. Un pauvre demande un franc à un étranger. Le mendiant espère que, quand il aura reçu suffisamment de pièces de un franc, il sera riche. Mais l’étranger lui démontre que son projet est irréalisable. En effet, un homme qui ne possède qu’un franc n’est pas riche; il ne l’est pas encore, si on lui donne un franc de plus. Une fois accepté le principe que le fait de posséder un franc de plus ne fait pas d’un mendiant un homme fortuné, si on l’applique de nouveau autant de fois que l’on voudra, le mendiant est forcé de conclure que, quel que soit le nombre de pièces qu’il reçoive, il ne sera jamais riche.

Évidemment, l’un des moyens de détruire l’argumentation de l’étranger est de décharger aux pieds du quémandeur des camions remplis de pièces. Ce serait un contre-exemple pragmatique, dans le style le plus théâtral. Mais, pour celui qui étudie les paradoxes, le problème est de découvrir le point faible logique dans le raisonnement de l’étranger : notre contre-exemple ne nous est donc ici d’aucune utilité.

L’argumentation peut être résumée en trois propositions :

  • Si un homme possède un franc, il n’est pas riche.
  • Si un homme n’est pas riche, alors lui donner un franc de plus ne fait pas de lui un homme riche.
  • Donc, quel que soit le nombre de francs que vous donniez à quelqu’un, ils ne feront pas de lui un homme riche.

D’un point de vue strictement logique, le raisonnement est valide. Donc, si les prémisses sont vraies, alors, selon les règles de la logique, la conclusion est nécessairement vraie. Nous tenons pour certain que la première prémisse est vraie : un franc n’a jamais rendu personne riche. En conséquence, il semble que le problème tienne dans la seconde prémisse, qui serait fausse. Cependant, si nous nions celle-ci et disons : « Si un homme n’est pas riche, lui donner un franc de plus fait de lui un homme riche », nous sommes amenés à conclure que cette proposition aussi est fausse, car elle affirme nécessairement qu’il existe une ligne de démarcation précise entre le fait d’être riche et celui de ne pas l’être. Or, l’expérience nous apprend que le mot « riche » est un peu plus vague que cela. Pourtant, si la seconde prémisse et sa négation sont toutes deux fausses, alors l’une des lois fondamentales de la logique repose sur un terrain mouvant.

Considérons, en effet, les trois principes fondamentaux sur lesquels est construite la logique classique :

  • La loi ou principe d’identité pose que, si quelque chose est p, alors il est Si je suis un homme, alors je suis un homme : la loi d’identité est satisfaite.
  • La loi du tiers exclu affirme que quelque chose est p ou non-p : ou je suis un homme, ou je ne suis pas un homme.
  • En troisième lieu vient le principe de contradiction pour lequel rien ne peut être à la fois p et non-p: je ne peux à la fois être et ne pas être un homme.

Il est clair, à partir des règles ci-dessus, qu’une proposition p et sa négation non-p ne peuvent avoir la même valeur de vérité : si l’une est vraie, l’autre est fausse. C’est la loi de la dualité.

Cependant, chaque variante du paradoxe du tas de grains nous laisserait croire qu’il est possible qu’une proposition et sa négation soient toutes deux fausses. Il y a nécessairement une solution logique. Certains philosophes prétendent que quelques-unes des lois de la logique classique, comme celle du tiers exclu, doivent être abandonnées ; d’autres que c’est notre logique à deux valeurs de vérité (vrai et faux) qui pose problème ; d’autres encore que le paradoxe réside dans le fait que les propositions qui l’expriment ne s’articulent pas assez précisément pour être traitées par les méthodes de la logique formelle.

Beaucoup de nos contemporains pensent pourtant que les sorites peuvent être résolus dans le cadre de la logique classique. Ils estiment que le paradoxe s’enracine profondément dans les ambiguïtés du langage courant utilisées pour l’exprimer. Le problème vient pour eux des mots « riche » et « tas », considérés en fait comme vagues, plutôt qu’ambigus. L’ambiguïté vient de ce qu’un terme ou une expression peuvent être compris de deux ou plusieurs manières. Un terme vague est celui qui n’offre pas de limite précise : dans notre exemple, il ne nous dit pas à quel moment quelqu’un passe de l’état de pauvreté à celui de richesse. Si nous considérons ces deux caractéristiques comme les bouts opposés d’une ligne continue, nous nous attendons alors à trouver, quelque part entre les deux, une frontière qui divise la ligne. Mais, en réalité, bien qu’une telle séparation doive exister, l’imprécision des termes comme « riche » ou « tas » ne nous permet pas d’identifier le point qui fait coupure, et cela est précisément ce qui les rend vagues.

Un autre aspect important de la manière trompeuse de raisonner utilisée dans le paradoxe de l’homme riche se rapporte à la notion de signification. Il est vrai qu’aucune des pièces de monnaie, prise seule, ne constitue la frontière nécessaire pour distinguer un pauvre d’un riche. Mais, prises ensemble, elles créent une grande différence ; et, s’il y en a suffisamment, elles font de quelqu’un un homme riche. Autrement dit, une série de changements en eux-mêmes insignifiants peuvent, quand ils sont pris ensemble, être très significatifs.

Dans ces variantes du paradoxe, on voit clairement qu’on a utilisé des éléments quantifiables pour les ajouter les uns aux autres, comme les pièces qui font de quelqu’un un homme riche ou les grains qui finissent par former un tas. Mais que se passe-t-il si, au lieu d’éléments quantitatifs, nous avons affaire à l’ajout de caractéristiques ou de prédicats (éléments qualitatifs) comme dans le cas du batracien de Cargile ?

On peut aborder la question en disant que ces éléments qualitatifs sont en fait quantifiables. Il est possible de soutenir, par exemple, qu’à la première image le batracien est un têtard à 100 % ; puis qu’à chaque fraction de seconde (et à chaque image montrant le développement de l’animal) le pourcentage diminue. Selon Cargile, « le fait demeure qu’il [le têtard] doit, de toute évidence, atteindre 0 % et qu’il doit y avoir une image qui le montre au moment précis où il atteint ce stade. Cette disparition définitive du têtard à l’intérieur du processus du batracien est aussi surprenante, et la détermination de cet instant aussi mystérieuse, que dans le cas où « être un têtard » était une propriété, une qualité. »

Cargile, qui expose ses idées de manière concrète, affirme donc qu’il y a un instant précis où le batracien cesse d’être un têtard pour, au moment suivant, se métamorphoser en grenouille. Que nous puissions ou non parvenir à saisir cet instant ne fait pas de différence, car la logique veut qu’il existe. Dans un article de 1969, Les paradoxes sorites, Cargile écrit à ce sujet : « Ce qui est essentiel, c’est qu’il y aura un moment où le batracien sera une grenouille, ce qu’il n’était pas un instant auparavant… Ce n’est pas nier cela que de dire que le têtard mettra beaucoup de temps à devenir une grenouille… La croissance peut demander un grand laps de temps. L’acquisition de propriétés, non. C’est comme le fait de gravir une montagne. Disons qu’il faille cinq heures pour en atteindre le sommet. Nous pouvons affirmer qu’au bout de 4 h 59 mn, ce sommet n’est pas encore atteint, mais qu’au bout de cinq heures, il l’est. »

Le paradoxe du batracien a une forme analogue à l’un de ceux de Zénon. Aussi proches dans le temps que soient les deux images en question, il semble que nous soyons condamnés à l’échec, car il est possible, du moins en théorie, de photographier un nombre infini d’instants entre deux images successives. Ainsi, le moment où le batracien devient une grenouille se glissera toujours entre les prises effectuées. […] Le paradoxe de Cargile peut être « résolu » par l’application de concepts tirés de la théorie des ensembles infinis, mais il est difficile d’éclaircir les problèmes métaphysiques posés par ce paradoxe.

[Tiré de Falletta, N. (1983), Le Livre des paradoxes, Belfond, Paris, 236 pages]

[Retour à la table des matières]

FacebookTwitterGoogle+LinkedIn