Nombres dénombrables (et autres morceaux de poésie)

le 7 février 2019 à 12:40
Pierre Lavallée

« C’est une question improbable, mais elle me laisse perplexe… Supposons que nous ayons une route d’une longueur infinie dont les voies sont séparées par des lignes jaunes discontinues. Imaginons aussi que leur espacement n’est pas égal: pour l’une des deux routes, il y aurait un trait à tous les deux mètres alors que pour l’autre, ce serait un trait à chaque mètre. Laquelle des deux routes contiendrait le plus de traits, sachant qu’elles ont toutes les deux une longueur infinie? » demande Benoît Rouleau, de Québec.

Confronté à un problème comme celui-là, à peu près tout le monde est d’emblée tenté de penser que l’une des deux routes compte deux fois plus de traits que l’autre. Et c’est tout à fait compréhensible. Après tout, sur chaque tranche de 1000 mètres, se dit-on, l’une compte 500 traits (un à tous les deux mètres) alors que l’autre en a 1000 (un par mètre), et comme c’est vrai pour toutes les tranches de 1000 mètres jusqu’à l’infini, il s’ensuit forcément que la seconde a deux fois plus de traits que la première, non?

Eh bien non, dit le mathématicien de l’Université Laval Jean-Marie de Koninck: en fait, les deux routes ont autant de traits l’une que l’autre.

« Ces deux routes-là sont des ensembles infinis qu’on appelle « dénombrables ». Dénombrable, ça veut tout simplement dire qu’on a une méthode pour énumérer tous les éléments. Par exemple, si tu vas dans une soirée et que tu dis ‘Nous étions 12 hier soir’, mais que quelqu’un te demande comment tu le sais, tu peux énumérer tous les invités: moi, Claude, Paul, etc. Alors tu fais ce qu’on appelle une bijection entre les personnes présentes et les nombres de 1 à n. » Essentiellement, cela signifie que l’on attribue le nombre 1 à un invité, puis le nombre 2 au second invité, et ainsi de suite jusqu’à 12.

Il en va de même avec les lignes jaunes des routes infinies, et les ensembles infinis dénombrables comme ceux-là ne sont pas plus grands l’un que l’autre, dit M. de Koninck. Évidemment, si l’on ne tient compte que d’un bout de route de 1000 mètres, alors ce n’est plus vrai. Mais pour des routes infinies, oui.

Une bonne façon de se représenter le problème est ce que les mathématiciens appellent le paradoxe de l’hôtel de Hilbert, du nom de son inventeur, David Hilbert, l’un des plus grands mathématiciens du XXe siècle. Il consiste à imaginer un grand hôtel avec un nombre infini de chambres, mais qui seraient toutes occupées. Si un nouveau client se présente, pourra-t-on trouver à le loger? Notre expérience quotidienne des choses nous porte à croire que non puisque les chambres sont déjà toutes prises, mais c’est simplement parce que le cerveau humain n’est pas souvent (presque jamais, en fait) confronté à la notion d’infini.

hilbert

Supposons en effet que l’on déplace le client de la chambre 1 dans la chambre 2, que l’on décale simultanément celui de la chambre 2 vers la 3, et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Au bout de l’opération, la chambre 1 est libre et le nouveau client peut la prendre même si toutes les chambres étaient prises au départ. Comme le montre cet exemple, la notion d’infini peut mener à ce qui nous apparaît intuitivement être des aberrations, mais c’est comme ça.

Il existe toutes sortes de déclinaisons de ce « paradoxe », mais il y en a une qui peut bien illustrer l’égalité du nombre de lignes entre nos deux routes. Le problème que pose M. Rouleau revient essentiellement à se demander s’il y a autant de nombres impairs (1, 3, 5, 7…) que d’entiers naturels (1, 2, 3, 4, 5, 6…), dit M. de Koninck. D’instinct, on se dit qu’il doit forcément y avoir deux fois plus d’entiers naturels que de nombres impairs, mais ce n’est pas le cas.

Retournons dans l’hôtel de Hilbert. Il y a un nombre infini de chambres, qui sont toutes occupées. Mais imaginons que, cette fois-ci, nous n’avons pas affaire à un nouveau client qui arrive seul, mais à un nombre infini de nouveaux clients qu’il faut accommoder. Est-ce possible?

Oui. Supposons que l’on déplace chaque client vers une chambre dont le numéro est le double de sa chambre actuelle. De cette manière, le locataire de la chambre 1 ira à la chambre 2, celui de la chambre 2 ira dans la chambre 4, celui de la chambre 3 finira dans la chambre 6, et ainsi de suite. Le résultat final est que toutes les chambres de nombre impair seront libres, et comme il y a une infinité de nombres impairs, alors l’opération nous donne assez de chambres pour accueillir le nombre infini de nouveaux clients.

C’est très contre-intuitif, mais ça marche: nous avions au départ de nouveaux invités que l’on pouvait numéroter de 1 jusqu’à l’infini, ce qui comprend tous les entiers naturels. Et même si seulement un entier sur deux est impair, nous les avons tous logés en libérant uniquement les chambres impaires, parce qu’il y a une infinité de nombres impairs.

C’est par des raisonnements comme celui-là que les mathématiciens peuvent dire qu’il y a autant de nombres impairs que de nombres entiers. Et c’est pour cette raison que les deux routes imaginées par M. Rouleau ont un nombre égal de lignes jaunes.

Jean-François Cliche

[Article paru dans le quotidien Le Soleil, et aussi le quotidien Le Droit du lundi 1er octobre 2018]

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