Chronique historique : proportion divine

le 7 février 2019 à 12:17
Pierre Lavallée

En 1509, le mathématicien italien Luca Pacioli, ami de Léonard de Vinci, publia Divina Proportione (La Divine Proportion), ouvrage consacré à ce qui est aujourd’hui connu sous le nom de « rapport d’or » ou « nombre d’or ». Ce rapport, symbolisé par , apparaît avec une fréquence étonnante aussi bien en mathématiques que dans la nature. Pour mieux comprendre cette notion, divisons une ligne en deux segments de telle sorte que le rapport de la totalité du segment et du segment le plus long soit égal au rapport du segment le plus long et du segment le plus court, ou (a+b)/b=b/a=1,61803…

Si le rapport des mesures de la longueur et de la largeur d’un rectangle est égal au nombre d’or, le rectangle est dit « rectangle d’or ». Il est possible de scinder un rectangle d’or en un carré et un rectangle d’or. Ensuite, nous coupons le rectangle d’or le plus petit en un nouveau carré plus petit et un rectangle d’or. Il est possible de poursuivre le processus indéfiniment, et d’obtenir ainsi des rectangles d’or de plus en plus petits.

Si nous traçons une diagonale entre le coin supérieur droit et le coin inférieur gauche, puis entre le coin inférieur droit du rectangle d’or plus petit et le coin supérieur gauche, le point d’intersection représente le point de convergence de tous les rectangles d’or plus petits. En outre, le rapport entre elles des longueurs des diagonales est égal au nombre d’or. Le point de convergence de tous les rectangles d’or est parfois appelé « œil de Dieu ».

Le rectangle d’or est le seul rectangle à partir duquel il est possible de couper un carré de telle sorte que le rectangle restant soit proportionnel au rectangle original. Si nous relions les sommets du diagramme, nous nous approchons d’une spirale logarithmique qui « enveloppe » l’œil de Dieu. Les spirales logarithmiques sont omniprésentes — coquillages, cornes animales, limaçon de l’oreille —, partout où la nature remplit l’espace de façon régulière et économique. Une spirale emploie un minimum de matière. Lorsqu’elle se développe, elle modifie sa taille, mais non sa forme.

[Tiré de Pickover, C. A. (2010), Le beau livre des maths, Dunod, Paris, 528 pages.]

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