Le paradoxe du barbier

le 24 janvier 2015 à 17:20
dtalbot

En 1901, le philosophe et mathématicien Bertrand Russell (1872 – 1970) découvre un éventuel paradoxe ou une contradiction apparente qui le conduit à modifier la théorie des ensembles. L’une des versions du paradoxe de Russell, connue sous le nom de « Paradoxe du barbier », met en scène un village dont, chaque jour, le barbier rase uniquement ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-ci. Par conséquent, le barbier se rase-t-il lui-même ?

Le scénario semble impliquer que le barbier se rase lui-même si et seulement s’il ne se rase pas lui-même. Comme l’écrit Helen Joyce, « le paradoxe laisse entrevoir une perspective effrayante, selon laquelle l’ensemble des mathématiques repose sur des fondements instables et qu’aucune preuve n’est digne de confiance ».

Le paradoxe de Russel, dans sa forme d’origine, implique l’ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. La plupart des ensembles R ne sont pas éléments d’eux-mêmes : par exemple, l’ensemble des cubes n’est pas un cube. Les exemples d’ensembles T qui se contiennent eux-mêmes comme éléments sont l’ensemble de tous les ensembles ou l’ensemble de tous les objets, à l’exception de cubes. Il semblerait que chaque ensemble doive être de type R ou de type T, mais non des deux types. Cependant, Russel s’est interrogé sur l’ensemble S de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. D’une manière ou d’une autre, S n’est ni un élément de lui-même, ni un non-élément de lui-même. Bertrand Russell a compris qu’il devait modifier la théorie des ensembles pour éviter de telles confusions et de possibles contradictions.

L’une des réfutations possibles du paradoxe du barbier pourrait être simplement de répondre qu’un tel barbier n’existe pas. Néanmoins, le paradoxe de Russell a conduit à une version plus claire de la théorie des ensembles. Le mathématicien allemand Kurt Gödel a eu recours à des observations similaires pour formuler son théorème d’incomplétude. Le mathématicien britannique Alan Turing s’est également inspiré du travail de Russell quand il a étudié l’indécidabilité du problème de l’arrêt : étant donné un programme informatique, parviendra-t-il à s’arrêter en un nombre fini d’étapes ?

[Tiré de Pickover, C. A. (2010), Le ?eau Livre des M?ths, De Pythagore à la 57e dimension, Dunod, Paris.]

 

 

Pierre Lavallée

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